Cobertura com opções de índice de ações

Cobertura Com Opções.
2.1 Demonstrações Financeiras 2.2 Impostos 2.3 Concessão e Depreciação do Custo de Capital 2.4 Fluxo de Caixa e Relações entre as Demonstrações Financeiras.
4.1 Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno 4.2 Decisões de Investimento de Capital 4.3 Análise e Avaliação de Projetos 4.4 Histórico do Mercado de Capitais 4.5 Retorno, Riscos e a Linha do Mercado de Valores Mobiliários.
Você pode pensar em especulação como apostar no movimento de uma segurança. A vantagem das opções é que você não está limitado a ter lucro apenas quando o mercado sobe. Por causa da versatilidade das opções, você também pode ganhar dinheiro quando o mercado cair ou mesmo de lado.
A outra função das opções é a cobertura. Pense nisso como uma apólice de seguro; Assim como você segura sua casa ou carro, opções podem ser usadas para garantir seus investimentos contra uma recessão. Críticos das opções dizem que, se você está tão inseguro quanto à escolha de ações que precisa de um hedge, não deve fazer o investimento. Por outro lado, não há dúvida de que as estratégias de hedge podem ser úteis, especialmente para grandes instituições. Até mesmo o investidor individual pode se beneficiar. Imagine que você queria aproveitar as ações de tecnologia e sua vantagem, mas também queria limitar as perdas. Ao usar as opções, você seria capaz de restringir sua desvantagem enquanto aproveita a vantagem total de uma maneira econômica.

Cobertura com opções de índice de ações
Jornal de Finanças Matemáticas.
Hedging com opções de Stock Index: uma abordagem de Gini média estendida.
Haim Shalit 1, Doron Greenberg 2.
1 Departamento de Economia, Universidade Ben-Gurion, Beer Sheva, Israel.
2 Departamento de Economia e Administração de Empresas, Ariel University Center, Ariel, Israel.
E-mail: shalit@bgu. ac. il, dorongre@Ariel. ac. il.
Recebido em 16 de outubro de 2012; revisado em 21 de novembro de 2012; aceito em 13 de dezembro de 2012.
Palavras-chave: Hedge Ratios; Risco sistemático; Risco Básico; Aversão a risco; Gini médio.
Um dos métodos mais eficientes para proteger as carteiras de títulos cujas opções de venda não são negociadas é usar opções de índice de ações. Utilizamos o modelo Gini (MEG) com extensão média para derivar as taxas de hedge ideais para as opções de índices de ações. Calculamos os índices MEG para algumas das principais ações negociadas na Bolsa de Valores de Tel Aviv e as comparamos com as taxas de hedge de variância mínima. Calculados para valores específicos de aversão ao risco, os índices de hedge da MEG combinam risco sistemático com risco de base. Nossos resultados mostram que aumentar a aversão ao risco usada no cálculo reduz o tamanho do índice de hedge, o que implica que menos opções de venda são necessárias para proteger toda e qualquer segurança.
Neste artigo, usamos o modelo Gini (MEG) com extensão média para derivar taxas de hedge ótimas para carteiras com opções de índices de ações. Desde sua introdução no início dos anos 80, os futuros e as opções sobre índices de ações permitiram aos investidores administrar carteiras de ações protegendo-se contra riscos sistemáticos. A principal questão prática é determinar as taxas de hedge adequadas, ou seja, o número de contratos futuros ou opções de venda a serem negociados para garantir a carteira. Espera-se que as taxas de cobertura das opções sobre índices de acções reduzam dois tipos de risco: risco sistemático da carteira e risco de cobertura de futuros, razão pela qual se tornou um importante instrumento de investimento.
A abordagem padrão para reduzir o risco na cobertura de futuros é usar a variação mínima para maximizar a utilidade esperada, de modo a determinar as taxas de hedge ideais. Outra abordagem, que tem sido prática nos últimos 15 anos, é usar as taxas de hedge de MEG. Ao contrário da variância mínima, as taxas de hedge da MEG permitem incorporar a intensidade da aversão ao risco no coeficiente de hedge. Uma revisão abrangente das taxas de hedge de futuros e, em particular, da cobertura média de Gini pode ser encontrada em Lien e Tse [1], e Chen, Lee e Shrestha [2]. O MEG também tem sido utilizado para investigar a eficácia da cobertura nos contratos de futuros de mercadorias por Shaffer [3], nos contratos de FTSE da Butterworth e Holmes [4], e na cobertura cambial por Shaffer e DeMaskey [5]. Esses artigos confirmam a superioridade do modelo MEG sobre o modelo de média-variância no hedge de futuros. De fato, seus resultados mostram que os índices de hedge da MEG alcançam maior redução de risco para todas as classes de investidores avessos ao risco.
Existem várias razões principais pelas quais o modelo MEG deve ser usado para garantir um portfólio. Primeiro, o MEG permite a derivação de índices de hedge que atendam às condições necessárias e suficientes para a dominância estocástica. Como tal, o modelo MEG assegura que o rácio de cobertura seja incluído no conjunto eficiente de dominância estocástica de segundo grau (SSD) (Cheung, Kwan e Yip [6]). Em segundo lugar, os rácios MEG corrigem as falhas decorrentes da interdependência do índice de preços e dos termos de erro. Em particular, as condições de Gauss-Markov exigidas pelo modelo de regressão de mínimos quadrados ordinários (OLS) podem ser violadas e os resultados não serão validados como taxas de hedge ótimas. Assim, as razões MEG são estimadores consistentes para razões de variância mínimas (Shalit [7]). Terceiro, se a distribuição de probabilidade do índice de preços das ações não for normal, como seria de esperar com base em investigações empíricas, os coeficientes OLS extrairão a maior parte de sua significância estatística das observações extremas, enquanto que com MEG todas as observações contribuem mais uniformemente para o poder de as estimativas (Shalit e Yitzhaki [8]).
Na próxima seção, derivamos as taxas de hedge teóricas usando um modelo de hedge de carteira com opções de colocação de índice de ações. Em seguida, na terceira seção, apresentamos uma cartilha sobre a teoria da média-Gini cuja finalidade é mostrar por que o modelo MEG tem sido usado na cobertura de futuros. Na quarta seção, usamos a metodologia de média-Gini para derivar as taxas de hedge de MEG com opções de venda de índice de ações. Na quinta seção, aplicamos essa metodologia aos valores mobiliários negociados na Bolsa de Valores de Tel Aviv e estimamos as taxas de proteção.
2. O Modelo de Seguro de Portfólio com Opções de Colocação de Índice.
Considere um modelo padrão de dois períodos de seguro de carteira. Um investidor que possui uma carteira de n títulos compra contratos de opção de venda de ações para limitar o risco de queda da carteira. Assumimos que esta é a única estratégia disponível porque, como é o caso em muitos mercados financeiros, contratos futuros e opções sobre ações individuais não são prontamente negociados ou não possuem liquidez. O valor inicial do portfólio é:
onde estão os preços das ações iniciais e α i são suas ações na carteira. Para segurar a carteira contra o risco de queda, o investidor compra x opções de venda de índice que expiram no final do período de detenção em que o valor da carteira coberta é:
onde P 0 e P 1 são os preços inicial e final da opção de venda e são os preços finais das ações.
Nosso objetivo é determinar o índice de hedge que compreende o número de contratos de índice necessários para segurar o portfólio. Quando os investidores maximizam a utilidade esperada dos retornos da carteira, a taxa de hedge ótima pode ser obtida usando o modelo de média-variância (MV), pois, como mostrado por Levy e Markowitz [9], MV se aproxima da utilidade esperada, independentemente da utilidade e da probabilidade distribuição. Além disso, Benninga, Eldor e Zilcha [10,11] mostraram que a razão de hedge ótima é igual à razão de hedge de variância mínima que é:
onde δ i é o coeficiente de regressão do preço da ação no preço da opção de venda indexada da seguinte forma:
Quando a opção de venda de índice é escrita em um índice de mercado mais amplo, o índice de hedge pode ser decomposto em dois elementos. O primeiro é o risco sistemático β i e o segundo é a sensibilidade do índice a mudanças nos preços das opções de venda, ou o inverso da opção de venda delta. De fato, da Equação (4), as razões de hedge ótimas δ i são derivadas como:
onde eu é o índice de mercado. O risco sistemático β i é obtido pela regressão do preço da ação sobre o índice de mercado I. O índice de opção de venda delta, Δ, é a taxa de variação da opção de venda em relação ao índice de mercado. Como a opção de venda delta é idêntica para todos os ativos da carteira, ela não afeta o índice de hedge quando as ações da carteira são alteradas.
O risco sistemático β i utilizado para o rácio de cobertura é ligeiramente diferente da definição usual de beta, porque é obtido pela regressão dos preços das ações no índice subjacente à opção de venda, o que é feito da seguinte forma:
Para que a taxa de hedge seja ótima, o modelo de regressão deve ser válido, ou seja, I e ε i devem ser estatisticamente independentes. Como esta condição pode ser violada, propomos aplicar o modelo MEG à cobertura do seguro de carteira. Para entender a lógica de usar esse modelo, começamos com uma breve revisão da teoria da média de Gini.
3. Um Primer no Mean-Gini.
A teoria de Mean-Gini (MG) foi originalmente desenvolvida por Yitzhaki [12,13]. Posteriormente, foi aplicado para financiar por Shalit e Yitzhaki [14] como um modelo alternativo para MV para avaliar o risco sistemático e construir portfólios ótimos que são consistentes com a maximização da utilidade esperada e dominância estocástica. MG apresenta resultados robustos quando a MV está fadada ao insucesso, em particular, quando os ativos não são normalmente distribuídos ou quando a regressão usada para estimar betas por mínimos quadrados ordinários fornece estimadores enviesados ​​(Shalit e Yitzhaki [8]). Além disso, o MEG permite a introdução da diferenciação da aversão ao risco na estimativa do risco sistemático (GregoryAllen e Shalit [15]). Por essas razões, o modelo MEG tem sido usado para estimar as taxas de hedge ideais nos mercados futuros (ver Lien e Tse (2002) [1] e Chen, Lee e Shrestha, [2]).
O coeficiente de Gini é uma medida de dispersão usada principalmente na desigualdade de renda, onde o índice é relacionado à curva de Lorenz. Em finanças, quantifica o risco de forma semelhante ao papel desempenhado pela variância como medida de risco. A diferença média de Gini é definida como metade do valor esperado da distância entre todos os pares de retornos. Para retornos de portfólio w, é escrito como:
onde w 1 e w 2 são realizações independentes dos retornos da carteira. Essa definição do Gini pode ser desenvolvida na seguinte representação mais prática que é comumente usada em aplicativos financeiros 1:
onde G é a distribuição de probabilidade cumulativa de w. O Gini é uma estatística de dispersão que mede o risco da mesma forma que o desvio padrão avalia o risco. Ainda mais vantajoso para a análise de risco é o Gini estendido que permite especificar a intensidade de aversão ao risco na estatística de dispersão. O coeficiente de Gini estendido do portfólio w é definido como:
onde ν é o parâmetro Gini estendido associado à aversão ao risco. Esse parâmetro expressa até que ponto as realizações mais baixas em relação aos retornos mais altos são ponderadas para avaliar o risco. À medida que os investidores se tornam mais avessos ao risco, preocupam-se significativamente com retornos mais baixos, dando-lhes, portanto, um peso comparativamente maior do que o dado aos retornos mais altos ao calcular a medida de dispersão. O parâmetro de aversão ao risco ν varia de 1 (representando um investidor neutro ao risco) ao infinito (para o investidor mais avesso ao risco, exemplificado pelo indivíduo max-min) 2. Em particular para n = 2, o coeficiente de Gini padrão é obtido como na Equação (8).
A principal vantagem da teoria do MEG decorre das condições necessárias e suficientes para a dominância estocástica, que afirmam que a carteira A é preferida à carteira B para todos os investidores avessos ao risco, se.
onde m A, m B, e são os meios e os Ginis estendidos das carteiras A e B, respectivamente. Segue da Equação que maximizando m α & # 8210; G α para todas as carteiras fornece aos investidores um parâmetro de aversão ao risco com sua fronteira eficiente de MEG. Como alternativa, os analistas financeiros às vezes minimizam o Gini estendido da carteira G (n) sujeito a um determinado retorno médio, como feito em Shalit e Yitzhaki [17].
4. A Metodologia de Cobertura de Gini Média Estendida.
O modelo MEG no hedge de futuros está enraizado em trabalhos de pesquisa que defendem o uso de métodos de Gini em mercados futuros (Cheung, Kwan e Yip [6]; Hodgson e Okunev [18]; Kolb e Okunev [19] [20]; Luo [10] e Shalit [7]). Algumas das análises mais abrangentes do MEG nos mercados futuros aparecem em Lien e Tse [1] e Chen, Lee e Shrestha [2].
Muitos métodos são usados ​​para estimar as taxas de hedge de MEG, todas baseadas na minimização do Gini estendido da carteira coberta, sujeito ao retorno médio. O problema reside no cálculo do Gini estendido como a covariância do retorno do portfólio e sua distribuição cumulativa de probabilidade. Kolb e Okunev [19,20] usaram a classificação dos retornos como uma distribuição empírica e derivaram as razões de hedge de minimização de Gini por meio de um método de busca. Por outro lado, Lien e Luo [21] melhoraram a estimativa da função de probabilidade cumulativa usando um método de kernel de suavização enquanto mantinha o procedimento de busca numérica. Shalit [7] forneceu uma solução analítica para as taxas de hedge de MEG com base na regressão da variável instrumental (IV). Mais tarde, Lien e Shaffer [22] mostraram que Shalit [7] errou quando assumiu classificações idênticas para os retornos das carteiras cobertas e os preços futuros para estimar o índice de hedge.
No entanto, o modelo de seguro de carteira é diferente do modelo de cobertura de futuros porque a opção de venda de índice é escrita no índice de mercado da mesma maneira que o CAPM beta é obtido como a regressão do ativo de risco na carteira de mercado. O modelo de cobertura da carteira é desenvolvido da seguinte forma. Considere os investidores com um coeficiente de aversão ao risco. A relação de cobertura Gini média estendida ideal para uma opção de índice é obtida maximizando a média menos o Gini estendido da carteira coberta da seguinte forma:
Em seguida, diferenciamos a equação em relação a α i ex. Como o Gini estendido é homogêneo de grau um no α iex, agora aplicamos o teorema de Euler para expressar o Gini como:
O resultado produz:
Como a covariância permanece inalterada ao subtrair uma constante, obtemos o hedge ótimo como o que traz o Gini estendido da carteira para zero:
onde δ i (ν) é a taxa de hedge MEG ótima que usa opções de índice para um investidor com coeficiente de aversão ao risco ν. A questão agora é como avaliar o índice usando dados financeiros. Como são retornos de uma carteira bem diversificada de muitos títulos e P é uma opção de venda escrita em um índice de mercado mais amplo, a suposição de que w e P têm a mesma distribuição de probabilidade que o índice de mercado I é válida. Assim, pode-se escrever Equação como.
onde a opção de venda delta Δ (ν) é expressa em termos de MEG. Obtemos a taxa de hedge MEG ótima usando as opções de índice em duas etapas. Em primeiro lugar, são encontrados os coeficientes de regressão Gini da média estendida dos retornos das ações sobre o índice de mercado para um ν específico. Estes são basicamente coeficientes de regressão IV, onde o instrumento é para cada ν. A distribuição de probabilidade cumulativa G (I) é estimada usando a classificação do índice de mercado I. Segundo, os Δ (ν) são obtidos a partir das regressões IV do preço da opção de venda sobre o índice de mercado, com cada instrumento apropriado. o diferente ν.
A principal questão na utilização dos índices de hedge da MEG é verificar se essas relações diferem estatisticamente dos índices de MV. De facto, se os rácios são basicamente os mesmos, não há necessidade de calcular os rácios de MEG e os rácios de cobertura de MV satisfarão todos os investidores avessos ao risco. Uma questão natural que surge é como avaliar se as relações MEG diferem das razões MV? Dois caminhos podem ser perseguidos: O primeiro é teórico, uma vez que, como mostrado por Shalit [7], os índices MEG diminuem para o índice MV se os retornos das ações forem normalmente distribuídos. Então, a questão é testar a normalidade dos retornos financeiros. A segunda é uma abordagem econométrica que consiste em aplicar o teste de erro de especificação [23] de Hausman para examinar se as relações MEG diferem da relação de MV. O teste de Hausman [23] usa a estatística:
onde está a variância do MV beta e é a correlação entre o retorno das ações e a variável instrumental. A estatística m (ν) é distribuída por Chisquare com um grau de liberdade.
5. Dados e Resultados da Estimativa.
Conduzimos nossa pesquisa usando dados da Bolsa de Valores de Tel Aviv (TASE), uma vez que nenhuma opção de ações em valores mobiliários individuais é negociada lá. A única maneira de os investidores protegerem ações individuais é mantendo posições em opções de índices de ações e futuros, embora algumas empresas cujas ações estejam listadas no exterior tenham opções negociadas em suas ações (por exemplo, a Teva Pharmaceuticals, listada no TASE e NASDAQ, opções negociadas em AMEX).
A amostra consiste em 1080 retornos diários de 57 ações negociadas no TASE de 1 de agosto de 1993 até 31 de dezembro de 1997, juntamente com 14.340 observações de opções de venda escritas no índice de ações TASE 25 para o mesmo período de tempo. A Bolsa de Valores de Tel Aviv começou a negociar oficialmente as opções de índices de ações em 1 de agosto de 1993, portanto o período de amostragem tem algum significado histórico. O índice de ações TASE 25 é um índice ponderado de capitalização das 25 ações com os maiores valores de mercado negociados na bolsa. Os contratos de opções no índice de ações TASE 25 são negociados diariamente de domingo a quinta-feira. Os contratos são cotados em Novo Shekel Israelense (NIS) a 100 NIS vezes ao nível 25 do TASE.
Nosso objetivo é estimar os índices de hedge de 57 ações para os contratos de opções do TASE25, conforme expresso pela Equação (5). Primeiro, calculamos os riscos sistemáticos para todos os 57 estoques utilizando tanto a abordagem MV quanto MEG para vários coeficientes ou aversão ao risco ν variando de 2 a 20. Isso é feito estimando-se a Equação (6) e, em seguida, regredindo os retornos diários dos títulos no retornos diários do índice de estoque TASE 25 usando regressões OLS e MEG (IV). Então, para testar se os betas MEG são estatisticamente diferentes do beta MV, calculamos a estatística de Hausman para ver se esse resultado depende da distribuição de normalidade dos retornos das ações. Testamos a normalidade dos retornos das ações usando a estatística padrão JarqueBera.
Os coeficientes de risco sistemáticos para todas as empresas são apresentados na Tabela 1. Para as principais ações negociadas no TASE, os betas variam em torno de 1 para os modelos MV e MEG. Em que medida os betas do MEG diferem do MV beta depende da estatística Hausman relatada abaixo do coeficiente para cada hedge do MEG. Se a estatística Hausman for superior a 3,84, o MEG beta é estatisticamente diferente (a 5%) do rácio de cobertura de MV. Em ge Tabela 1. MV e MEG betas no TASE (retornos diários 1/08 / 1993-31 / 12/1997).
Em geral, os coeficientes de risco sistemático MEG são maiores que o MV beta e aumentam à medida que o parâmetro de aversão ao risco aumenta de n = 2 para n = 20. Isso é comum quando a estatística Hausman mostra que o MEG beta é estatisticamente diferente do MV beta Podemos ver na estatística máxima de Hausman, apenas 33 ações de um total de 57 têm pelo menos um MEG beta que difere significativamente da taxa de hedge de MV. A estatística Hausman não é tão grande quanto seria de esperar para retornos de ações distribuídos normalmente não. De fato, como mostrado pela estatística Jarque-Bera sendo maior que 10, a hipótese de que todo retorno de ações segue uma distribuição normal é rejeitada. No entanto, usar o MEG betas em vez do MV beta nos permite considerar a aversão ao risco específica.
O próximo passo é estimar o delta Δ como a taxa de mudança do preço da opção de venda em relação ao índice do mercado de ações, conforme mostrado nas Equações (5) e (17). Para contabilizar as mudanças no preço do índice de exercício e na data de vencimento, incluímos essas variáveis ​​na regressão. Os resultados da regressão são mostrados nas três primeiras linhas (Equação A) da Tabela 2. O índice de opção de venda delta, Δ, estimado para todo o período, é de 0,425. Como mostrado na Equação (5), as taxas de hedge são obtidas dividindo-se o risco sistemático por delta. No modelo MEG, as razões de hedge, como mostrado na Equação (17), devem considerar a aversão ao risco diferenciada, ν. Assim, estimamos D (ν) como segue. Primeiro, contabilizamos as mudanças no preço de exercício, bem como na data do exercício, executando um modelo de regressão do preço da opção de venda sobre essas variáveis ​​(consulte as linhas inferiores (Equação B) da Tabela 2). Então, usamos os resíduos de regressão da Equação B para calcular Δ (ν) como.
Os resultados são mostrados na Tabela 3 para os vários valores de ν utilizados na pesquisa, juntamente com o Δ calculado para o modelo MV. Podemos ver que D (ν), as taxas de mudança da opção de venda em relação ao índice de mercado, aumentam à medida que o parâmetro de aversão ao risco aumenta e que todas elas são maiores que o D implícito por MV. Este é um resultado esperado para o índice do mercado de ações.
Agora podemos calcular os coeficientes de hedge para cada título e para cada coeficiente de aversão ao risco n dividindo os betas com a Equação (17) apropriada de D (ν). As taxas de hedge apresentadas na Tabela 4 mostram como os investidores podem evitar os dois tipos de riscos incorridos pela manutenção de uma carteira de ações, a saber, o risco sistemático padrão e o risco básico de hedge da carteira. Analisando a Tabela 4, vemos porque essa abordagem é diferente do que já vimos nas taxas de hedge. Para a maioria dos títulos, a crescente aversão ao risco, conforme expressa por n, reduz o tamanho do índice, o que implica que um número menor de opções de venda é necessário para cobrir toda e qualquer segurança. Este é um resultado inesperado que pode ser atribuído à combinação dos dois fatores de risco (risco sistemático e risco de base) e levando em conta o parâmetro de aversão ao risco.
Conforme calculado em nosso trabalho, mostramos as vantagens de usar as taxas de hedge de Gini com média estendida versus as taxas de hedge padrão de média-variância. Uma vez que esses índices combinam risco sistemático eo risco básico para uma ampla gama de coeficientes de aversão ao risco, nossos resultados indicam que os coeficientes de hedge podem medir com precisão o número de opções de índice de ações necessárias para hedge de títulos em uma carteira diversificada. As taxas padrão de hedge de médiavariância consideram apenas o risco sistemático e são insensíveis aos diferenciais de aversão ao risco do investidor. Apresentamos um procedimento para obter o hedge ótimo de MEG.
Mesa 2 . A equação de regressão do índice de opção de venda.
Variável dependente: colocar preço. Número de observações: 14.339.
Tabela 3 . Estimativas de Δ (ν) calculadas com os resíduos da Equação B.
Tabela 4 Coeficientes de cobertura MEG e MV δ para cada unidade populacional e para cada coeficiente de aversão ao risco.
índices. Primeiro, o analista precisa estabelecer o parâmetro de aversão ao risco relevante para investidores e gestores de portfólios a serem usados ​​para o Gini estendido. Para uma leve aversão ao risco, um parâmetro de n de cerca de 2 pode ser usado. Para investidores avessos ao risco, parâmetros de n maior que 4 são considerados apropriados e para investidores de risco extremamente alto é necessário um parâmetro de n que seja maior do que 16. Em segundo lugar, para cada aversão ao risco ne para cada ação, o risco sistemático do MEG deve ser estimado. Finalmente, para cada parâmetro de aversão ao risco n, o parâmetro da opção delta Δ expresso como a taxa de variação do preço da opção de venda em relação ao índice do mercado de ações é estimado. Os índices de hedge da MEG são, portanto, individualizados para cada ação e para cada tipo de investidor. Para a maioria dos títulos analisados ​​da Bolsa de Valores de Tel Aviv, o aumento da aversão ao risco reduz a taxa de hedge, o que significa que menos opções de venda são necessárias para contornar risco sistemático e risco de base para uma dada aversão ao risco.
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1 Veja Yitzhaki [16] para as numerosas representações do Gini.
2 Veja Butterworth e Holmes [4] para uma ilustração do parâmetro de aversão ao risco usado no Gini estendido.
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Cobertura de Carteira utilizando Opções de Índice.
Uma alternativa à venda de futuros de índices para hedge de uma carteira é vender chamadas de índice enquanto simultaneamente compra um número igual de colocações de índice. Ao fazer isso, o valor da carteira ficará bloqueado para evitar qualquer movimento adverso do mercado. Essa estratégia também é conhecida como um colar de índice de proteção.
A idéia por trás do índice é financiar a compra do índice de proteção usando o prêmio coletado da venda das chamadas de índice. No entanto, como resultado da venda das chamadas de índice, no caso de a expectativa do gestor do fundo de um mercado em queda estar errada, sua carteira não se beneficiará do mercado em alta.
Implementação.
Para proteger um portfólio com opções de índice, precisamos primeiro selecionar um índice com alta correlação com o portfólio que desejamos proteger. Por exemplo, se o portfólio consistir principalmente em ações de tecnologia, o Nasdaq Composite Index pode ser um bom ajuste e se o portfólio for composto principalmente por empresas blue chip, então o Índice Industrial Dow Jones poderia ser usado.
Depois de determinar o índice a ser utilizado, calculamos quantos contratos de compra e venda comprar e vender para fazer o hedge total da carteira usando a seguinte fórmula.
Não. Opções de Índice Requeridas = Valor de Holding / (Nível de Índice x Multiplicador de Contrato)
Um gestor de fundos supervisiona um portfólio bem diversificado, consistindo de 50 ações de grande porte nos EUA com um valor combinado de US $ 10.000.000 em outubro. Preocupado com as notícias sobre o aumento dos preços do petróleo, o gestor do fundo decide proteger a sua participação comprando unidades do índice S & amp; P 500 ligeiramente fora do dinheiro, enquanto vende um número igual de S & amp; P 500 ligeiramente fora do dinheiro chamadas de índice que expiram em dois meses. O nível atual do S & P 500 é de 1.500 e o contrato de compra do DEC 1475 SPX custa US $ 20 cada, enquanto o contrato de compra do DEC 1525 SPX é cotado a US $ 25 cada.
As opções SPX têm um multiplicador de contrato de US $ 100 e, portanto, o número de contratos necessários para proteger totalmente sua participação é: US $ 10000000 / (1500 x US $ 100) = 66,67 ou 67 contratos. Um total de 67 opções de venda precisam ser compradas e 67 opções de chamada precisam ser gravadas.
O custo total das opções de venda é: 67 x US $ 20 x US $ 100 = US $ 134.000. O prêmio total coletado para vender as opções de compra é: 67 x US $ 25 x US $ 100 = US $ 167.000. O prêmio líquido recebido é de US $ 167.000 - US $ 134.000 = US $ 33.000.
Como pode ser visto na tabela acima, se o mercado recuar, conforme representado pelo índice S & amp; P 500 em declínio, o valor das opções de venda aumentará e compensará quase totalmente as perdas incorridas pela carteira. Inversamente, se o mercado se valorizar, o aumento do valor da sua participação é limitado pelo aumento do valor das opções de compra vendidas a descoberto. Assim, uma vez que o índice de colarinho entrou, o gestor do fundo efetivamente bloqueou o valor de seu portfólio.
Nota: O exemplo não inclui custos de transação nos cálculos e também assume correlação total (beta de 1,0) entre o portfólio e o índice S & P 500.
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Hedge
O que é um 'hedge'?
Um hedge é um investimento para reduzir o risco de movimentos adversos nos preços de um ativo. Normalmente, um hedge consiste em assumir uma posição de compensação em um título relacionado, como um contrato de futuros.
QUEBRANDO PARA BAIXO
A cobertura é análoga à contratação de uma apólice de seguro. Se você possui uma casa em uma área propensa a inundações, você vai querer proteger esse ativo do risco de inundação - para protegê-lo, em outras palavras - tirando seguro de inundação. Existe um tradeoff risco-recompensa inerente ao hedge; enquanto reduz o risco potencial, também reduz ganhos potenciais. Simplificando, a cobertura não é gratuita. No caso da apólice de seguro de inundação, os pagamentos mensais somam, e se a enchente nunca vier, o segurado não recebe pagamento. Ainda assim, a maioria das pessoas escolheria tomar essa perda previsível e circunscrita, em vez de subitamente perder o teto sobre a cabeça.
Um hedge perfeito é aquele que elimina todos os riscos em uma posição ou portfólio. Em outras palavras, o hedge é 100% inversamente correlacionado ao ativo vulnerável. Isso é mais um ideal do que uma realidade no terreno, e até mesmo o hedge hipotético perfeito não é isento de custos. O risco básico refere-se ao risco de que um ativo e um hedge não se movam em direções opostas conforme esperado; "base" refere-se à discrepância.
Hedging através de derivativos.
Derivativos são títulos que se movem em termos de um ou mais ativos subjacentes; eles incluem opções, swaps, contratos futuros e contratos futuros. Os ativos subjacentes podem ser ações, títulos, commodities, moedas, índices ou taxas de juros. Derivativos podem ser hedges efetivos contra seus ativos subjacentes, uma vez que a relação entre os dois é mais ou menos claramente definida.
Por exemplo, se a Morty comprar 100 ações da Stock plc (ESTOQUE) a US $ 10 por ação, ele poderá fazer hedge de seu investimento ao comprar uma opção de venda de US $ 5 com um preço de exercício de US $ 8 expirando em um ano. Esta opção dá a Morty o direito de vender 100 ações da STOCK por US $ 8 a qualquer momento no próximo ano. Se, um ano depois, o STOCK for negociado a US $ 12, Morty não exercerá a opção e ficará com US $ 5; É improvável que ele se preocupe, pois seu ganho não realizado é de US $ 200 (US $ 195 incluindo o preço do put). Se ESTOQUE estiver sendo negociado a $ 0, por outro lado, Morty exercerá a opção e venderá suas ações por $ 8, para uma perda de $ 200 ($ 205). Sem a opção, ele se levantou para perder todo o seu investimento.
A efetividade de um hedge derivativo é expressa em termos de delta, às vezes chamada de "taxa de hedge". Delta é o valor que o preço de um derivativo movimenta por um movimento de US $ 1,00 no preço do ativo subjacente.
Hedging Através da Diversificação.
O uso de derivativos para proteger um investimento permite cálculos precisos de risco, mas requer uma medida de sofisticação e, muitas vezes, um pouco de capital. Derivativos não são a única maneira de se proteger, no entanto. A diversificação estratégica de uma carteira para reduzir certos riscos também pode ser considerada uma cobertura bastante bruta. Por exemplo, Rachel poderia investir em uma empresa de artigos de luxo com margens crescentes. Ela pode se preocupar, porém, que uma recessão poderia acabar com o mercado de consumo conspícuo. Uma maneira de combater isso seria comprar estoques de tabaco ou serviços públicos, que tendem a resistir bem às recessões e pagar dividendos substanciais.
Essa estratégia tem suas compensações: se os salários são altos e os empregos abundantes, a fabricante de bens de luxo pode prosperar, mas poucos investidores seriam atraídos por ações contra-cíclicas, que podem cair à medida que o capital flui para lugares mais interessantes. Também tem seus riscos: não há garantia de que o estoque de bens de luxo e a cobertura se movam em direções opostas. Ambos podem cair devido a um evento catastrófico, como aconteceu durante a crise financeira, ou por razões não relacionadas: as inundações na China aumentam os preços do tabaco, enquanto uma greve no México faz o mesmo com a prata.

Cobertura de sua carteira de ações com uma opção de índice de ações.
PERGUNTA: Como você pode economizar tempo e dinheiro na cobertura de sua carteira de ações?
RESPOSTA: Encontre um índice proxy apropriado e proteja-se em um mercado em vez de cada ação que você possui.
Com o Dow Jones Industrial Average negociando acima de 13.000 no final de fevereiro, um aumento de 34% em relação aos seus mínimos de dois anos (9.686 em 5 de julho de 2010), muitos investidores de longo prazo podem se sentir tentados a obter seus ganhos. Embora a economia sem brilho mostre alguns sinais de força, a recuperação não está de forma alguma garantida, e sair 1.000 pontos dos máximos históricos parece prudente. Investidores mais sofisticados podem optar por manter seus ganhos atuais usando opções de compra para proteger suas ações individuais, permitindo assim a possibilidade de uma maior valorização das ações.
A cobertura de ações de ações com puts é relativamente simples. Como cada venda permite ao detentor da opção o direito, mas não a obrigação, de vender as ações a um preço específico (preço de exercício), um grande declínio no preço das ações é compensado por um aumento no preço da opção de venda. hedge. Para cada 100 ações, um contrato de venda é exigido como hedge limpo. Assim, alguém que queira fazer hedge de 100 ações da Intel (INTC) fará um hedge com um contrato de venda da INTC.
Investidores e traders que utilizam opções de capital para cobrir e melhorar o desempenho de suas carteiras têm conseguido evitar algumas das maiores explosões da última década. Certamente, qualquer um que protegesse a Enron, a WorldCom, o Bear Stearns ou o Lehman poderia ter sido atingido, mas não o desastre total dos acionistas sem proteção. No entanto, a cobertura de ações individuais com suas respectivas opções pode tornar-se confusa, consumidora de tempo e intensiva em comissões. Existe um método mais fácil.
Agrupar todas as suas ações em uma única cesta, basicamente, cria um índice que pode ser coberto com um produto de índice estreitamente relacionado. Essa é a idéia por trás da negociação de programas e, se feita corretamente, pode ser uma alternativa econômica às complexidades associadas à cobertura de cada ação.
Selecionando ações aleatoriamente, ilustraremos a comparação entre hedge com ações e hedge com index puts.
Escolhemos seis ações aleatoriamente: Master Card (MA), Intel (INTC), Met Life (MET), Schlumberger (SLB), Oracle (ORCL) e Microsoft (MSFT). Suponha que compramos 100 ações de cada uma, e nós protegemos essas ações com uma opção de venda. A greve selecionada para as opções de índice e ações foi a mais próxima de 5% do dinheiro, embora possamos usar qualquer greve dependendo de nossos objetivos. As opções de venda, preços de ações, etc. serão retirados das marcas de fechamento em 29 de fevereiro de 2012, com vencimento em abril (51 dias restantes).

Cobertura com opções de índice de ações
Opções de Ações de Cobertura Utilizando Contratos de Futuros no Stock.
Mihai Grigore Bunea Domsa.
Departamento de Matemática e Ciências da Computação, Universidade Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, Romênia.
Para citar este artigo:
Mihai Grigore Bunea Domsa. Opções de Ações de Cobertura Utilizando Contratos de Futuros no Stock. Matemática Aplicada e Computacional. Vol. 4, n ° 3, 2015, pp. 214-219. doi: 10.11648 / j. acm.20150403.24.
Resumo: O objetivo deste artigo é apresentar o preço e a estratégia de replicação de uma opção européia no underlier pontual (ou caixa) com dividend yield contínuo, quando o instrumento utilizado no hedge dinâmico da opção for um contrato futuro no respectivo underlier . Ele formaliza a prática heurística entre os operadores de opções para replicar as opções em um índice de ações usando futuros no respectivo índice de ações e investiga que os resultados obtidos diferem significativamente do que eles obteriam usando o índice de ações real, conforme exigido pela precificação Black-Scholes. Heuristicamente, a substituição é suportada pelos preços dos índices e futuros sendo próximos, pelo menos para pequenos dividendos e tempo para o vencimento. Nosso método é expressar essa prática em termos contábeis, derivar a dinâmica da carteira de autofinanciamento e, em seguida, o preço da opção de forma fechada e delta. Finalmente, execute simulações numéricas e compare os resultados obtidos por Black-Scholes versus nossa abordagem. Os resultados mostram que as fórmulas de preço e delta diferem de Black-Scholes, mas a simulação numérica não gera diferenças suficientemente altas para garantir uma arbitragem óbvia, o que significa que, embora não rigorosamente exata, a aproximação é boa o suficiente para casos de uso mais práticos.
Palavras-chave: Preços de Opções, Replicação de Opções Usando Futuros, Arbitragem.
O modelo clássico de Black-Scholes fornece um preço e uma maneira de replicar opções em um índice de ações ou ações. Como uma analogia, pense que as opções são pão e o estoque é trigo. A quantidade de dinheiro que alguém pede por um pão é o preço, a quantidade de trigo usada para fazer esse pão é o que a replicação significa.
Um índice de ações é mais difícil de comprar / vender diretamente, de forma que os traders usem os contratos futuros. É como se não houvesse trigo, eles compram farinha. Isso levanta dois problemas que são abordados neste trabalho:
(1) O preço da opção é o mesmo se replicado usando ações ou futuros? (O preço do pão é o mesmo, o tempo é feito de trigo ou de farinha?)
(2) A estratégia de replicação é a mesma usando ações ou usando futuros? (As quantidades de cozimento são as mesmas, usando farinha ou trigo?)
&touro; : um índice de ações ou ações com preço atual e dividend yield;
&touro; : uma opção no índice de ações ou ações com valor justo atual e prazo de vencimento;
&touro; : um futuro sobre o estoque ou índice de ações com preço atual e tempo de expiração;
&touro; : uma conta bancária com valor atual e taxa de juros;
&touro; : fator de margem, o percentual do valor da ação que precisa ser depositado como margem para a compra de um contrato futuro;
&touro; : função de distribuição cumulativa normal padrão;
&touro; : função de densidade de probabilidade normal padrão.
Nosso objetivo é formular o preço da opção e o delta em termos dessa notação.
O modelo de Black-Scholes é usado para precificar uma opção quando o underlier é um índice de ações ou ações, ver e. [4, Opções de índices de ações na página 4]. Em nosso artigo, replicaremos a opção usando um futuro no índice de ações ou ações e nos referiremos a esse caso como "uma nova abordagem", com a sigla de NA. A seguir, apresentamos as diferenças de preço e delta entre Black-Scholes e NA.
O preço para Black-Scholes é.
O preço de NA é.
Pode-se mostrar que o preço a termo é o mesmo em ambas as fórmulas, portanto elas diferem por meio da taxa de juros e são iguais apenas se a taxa de juros for zero. Abaixo estão exemplos numéricos para uma opção de compra quando, dias e taxas de juros de 0, respectivamente 12% ao ano. Pode-se ver que, para preços de taxa de juros não-zero, não são os mesmos, embora possam estar próximos.
Como é conhecido / mostrado na seção de prova, a replicação de uma opção é feita pela negociação de uma quantidade de pontos ou de futuros igual ao delta da opção. A expressão analítica de delta é.
Abaixo estão os valores numéricos para os parâmetros da seção de preços. Pode-se ver que as quantidades não são as mesmas. Está fora do escopo deste artigo dizer o que acontece se alguém replica uma opção usando a quantidade errada (ex: futuros comerciais usando a quantidade de Black-Scholes), intuitivamente pode-se supor que o resultado terá algum erro, mas a magnitude do erro não é simples.
The stock dynamics is described by a geometric Brownian motion with growth rate m , volatility s and Wiener process . The equation is.
The stock offers dividends modeled by a continuous dividend yield with dynamics over time described by the equation.
The bank account grows at a continuously compounded interest rate.
Future and spot price are linked by the no-arbitrage equation.
The payout for an European call option with strike is.
The payout for an European put option with strike is.
The price of the option depends on the type of asset used to replicate it's payout. When that asset is the stock, the price is given by the well-known Black-Scholes formula and the replicating strategy by continuous dynamic delta-hedging in the undelier asset, see e. g. [8, Delta Hedging on page 344] . When that asset is the future, the price formula is different and we will deduce it in the following.
By Itö lemma, see e. g. [11, Theorem 4.10 on page 47], the dynamics of the future price has the form.
Denoting , we have.
Consequently the equation describing the dynamics of the future instrument is similar to the one describing the stock, where the growth rate of the stock m was replaced by a growth rate of the future a but the volatility s and driving Wiener process are the same.
The key in pricing the option is specifying it's replicating portfolio. A replicating portfolio is a series of trades in the future instrument financed by a bank account. It's value at a moment in time is.
where is the amount of money borrowed from the bank to buy a quantity of futures .
The purpose of a replicating portfolio is to exactly follow (replicate) the price of the option. At any moment in time we want to have the static relation , from which follows that it's dynamics is given by.
At this point we need to observe a particularity of futures contracts compared to plain stocks. When one buys an unit amount of stock, one has to pay it's entire value. In accounting terms , or the positive value debited by the purchase of stock is financed trough a credit of the same value from the bank account. Future contracts are different. One doesn't have to pay their entire value, only a fraction of it, known as the margin. For instance, if the stock price is 100 dollars, the buyer of a future contract on it might only have to pay some 10% or 20% of it. We will denote this margin factor by .
When using a future for replication, the accounting book still has to hold, so , or value debited equals value credited. The difference is that the bank account is split in two: a one which is subjected to interest rate and a one where there's no interest. Consequently.
The dynamics of the bank account is.
Therefore when using futures, the dynamics of the bank account is governed not by the original interest rate but by a reduced rate equal to the margin factor applied to the original rate: . Consequently we have.
To be concise we have omitted in the above equations the fact that , since it depends on both time and price of the future instrument. We need this form now in order to derive the dynamics of the option price, by applying Itö lemma once again.
Consequently from the condition to follow the option price by it's replica we get the equations.
First equation determines out control variable: the quantity of futures we need to hold.
At any moment in time we need to hold a quantity of futures equal to the sensitivity of option price relative to the change in future price. This fixes the quantity but doesn't tell us what the option price is. For that we need the second equation, a deterministic PDE which fixes the option price. Let's get rid of remembering that.
Replacing in (2) we get the PDE.
Dropping again time and underlier parameters from the option price function we obtain the PDE for the option price.
In the following we will determine the analytical solution for European options. Fenyman-Kač formula, see e. g. [6, Proposition 5.6 on page 70], says that the solution to the above PDE is.
as if the future price would follow a stochastic differential equation where the growth rate a is replaced by the interest rate.
The option contract is specified in terms of stock price, we need to express it in terms of future. Denoting the discount factor at maturity time with.
The payout for an European call option with strike is.
Therefore is a lognormal random variable and it's probability density function is.
By [6, formula 10 on page 3] we have.
and by [6, formula 20 on page 8] we have.
We can expand (3) into integral form and using (4) and (5) we get.
In a similar way we can get the formula for an European put option.
To obtain the expression for option delta , take the expression of option price.
Therefore we are left with.
We draw the conclusions by answering the questions from the introduction section.
(1) Is the option price the same if replicated using stocks or futures? No, it is not. There is a slight difference in price between the two strategies.
(2) Is the replication strategy the same using stocks or using futures? Again, it's not the same. The quantities of stock index and futures are different.
From a purely mathematical perspective, there's a difference in pricing which automatically leads to the hypothesis of possible arbitrage. The practice however is not so simple, differences are rather small and easily offsetted by missing a bit on volatility for instance. So while using our model to price options does result in slightly better margins, it's not a silver bullet.
5. Short Review of Options Hedging Research.
The Black-Scholes framework for pricing and replicating options trough dynamic delta hedging is introduced in [8, John Hull] by fairly accessible mathematics (PDEs). A more advanced and popular method at the current time, martingale theory, can be found in [11, Thomas Björk]. An attempt to explain the nebulous concept of change of measure and its application on option pricing is presented in [10, Salih Neftci]. A large collection of ready-made formulas for valuation of various types of option contracts are listed in [4, Espen Haug].
Classic Black-Scholes has some assumptions which do not hold in real life and can lead to losses. Analysis of the continuous trading assumption is presented in [2, Emanuel Derman], [3, Derman and Taleb] and [5, Haug and Taleb]. Analysis of transaction costs is available in [9, Hayne Leeland]. Analysis of continuous dividend yield is presented in [9, Ralf and Rogers].
A case we haven't found (which doesn't mean it wasn't studied, only that we haven't found it and therefore derived the conclusions independently) is when Black-Scholes is used to price options on a stock index but the replicating portfolio uses index futures due to the unavailability or difficulty of trading directly in the index, as required by the model. A very brief paper touching the subject (incorrectly, in our opinion) can be found online as [1, Antonie Kotze], at least proving that the issue is known.
So we arrive at the task of deriving the model ourselves, which is what this paper is about. In case we re-discovered the wheel, we stress again that we arrived at the results independently, which reminds us of two quotes (Google will reveal the authors): "What I cannot create, I do not understand" and "Don't reinvent the wheel, unless you plan on learning more about wheels".
Antonie Kotze, Delta Hedging: Futures Versus Underlying Spot, quantonline. co. za. Emanuel Derman, When You Cannot Hedge Continuously, Goldman Sachs Quantitative Strategies Research Note. Emanuel Derman, Nassim Nicholas Taleb, The Illusions of Dynamic Replication, Quantitative Finance, Vol. 5, No. 4, August 2005, 323–326. Espen Gaarder Haug, The Complete Guide To Option Pricing Formulas, McGraw-Hill, 1998. Espen Gaarder Haug, Nassim Nicholas Taleb, Option Traders Use (very) Sophisticated Heuristics, Never the Black–Scholes–Merton Formula, Journal of Economic Behavior and Organization, Vol. 77, No. 2, 2011. Fabrice Douglas Rouah, Four Derivations of the Black-Scholes Formula, frouah . Hayne Leeland, Option Pricing and Replication with Transaction Costs, Journal of The Journal of Finance, Vol 40, No. 5 (Dec 1985), 1283-1301. John Hull, Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, 6nd edition, 2005. Ralf Korn, Leonard Rogers, Stocks Paying Discrete Dividends: Modelling and Option Pricing, The Journal of Derivatives, Winter 2005, Vol. 13, No. 2: pp. 44-48. Salih Neftci, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Academic Press, 2nd edition, 2000. Thomas Björk, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford Finance, 2nd edition, 2004.
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